Question

在△ABC中，AB=AC=13cm，BC=24cm。

点P在BA边上由B向A以每秒1cm的速度移动；点Q在CB边上由C向B以每秒2cm的速度移动，P、Q分别从B、C同时出发。设定P移动的时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm²）
（1）试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当x为何值时，PQ⊥AB；
（3）是否存在这样的x，使得△BPQ与△ABC相似，如果存在，请求出所有满足条件的x的值；如果不存在，请说明理由。

不要用三角函数求解，目前只学到相似三角形的判定。
如果回答得好并且过程详细解题思路清楚的。追加20~30.

Answer 1

过P做BC垂线，垂足为N 那么三角形BPQ的面积就为1/2 BQ*PN
过A做BC垂线，垂足为M，由于是等腰三角形，M为BC中点 那么BM为12，由勾股定理可知，AM=5，并且三角形BPN和三角形AMB相似，可得PN/AM=PB/AB （1）
由于P是从B每秒1CM的速度向A走，那么PB=x，由（1）得PN=5x/13，BQ=BC-QC（2）
QC=2x（这个就不说明了，道理同PB） 由（2）得BQ=24-2x
那么三角形BPQ的面积=1/2 *（24-2x）*（5x/13) (化简自己来吧）定义域为P点最多可以走13秒，13秒以后就到达A点，而Q点最多可以走12秒 12秒后到达B点 ，所以去交易X的定义域为（0,12),0<x<12。
第二问的关键是如果PQ⊥AB,那么就说明△PQB与△ABM相似，反过来只有△PQB与△ABM相似，才能推出PQ⊥AB，那么只要BQ/BM=BP/BA成立就可以，带入BQ,BM,BP,BA 最后解得X=312/38，（感觉数不太对呢，数不重要，思路最重要），具体你自己再算下。
第三题，这分两方面考虑，第一是三角形BPQ与三角形BAC相似，也就是BP/BA=BQ/BC，看X是否有解，（解是否在阈值中） 求出X=312/50=6.几 成立
另一个是三角形BPQ与三角形BCA相似（角PQB行成个钝角，从而使角PQB=角BAC，自己理解吧）那么会得到BP/BC=BQ/AB，同样X会得到一个值 看是否在阈值中如在也成立 x=576/62，目测也在阈值里 ，也成立。

Answer 2

1、过p做BQ边上的高为PE，过A做BC边上的高AF，根据三角形相似定理证得三角形PBE∽三角形PBF，所以相似三角形对应边成比例BP:BA=PE:AF，由已知可得，BP=x，BA=13，AF=√AB²-BF²=√13²-12²=5，∴PE=5x／13，又∵BQ=BC-QC=24-2x，∴三角形PBQ的面积=½BQ*PE，即：y=½【（24-2x）*5x／13】 0＜x＜12
2、∵PQ⊥BC，即PQ=PE,∴根据三角形相似可得，BP:BA=BQ:BF，即x：13=（24-2x）：12，得x=156／19
3、（1）当x＞24-2x时，即BP＞BQ时，三角形BPQ∽三角形BAC，利用相似三角形对应边成比例BP:BA=BQ:BC，得x：13=（24-2x）：24得出x（若有解就是存在，无解就是没有了）
（2）当x＜24-2x时，即BP＜BQ，三角形BQP∽三角形BAC,利用相似三角形对应边成比例BP:BC=BQ:BA,即x：24=（24-2x）：12，得出x

Answer 3

过P做BC垂线，垂足为N
那么三角形BPQ的面积就为1/2
BQ*PN
过A做BC垂线，垂足为M，由于是等腰三角形，M为BC中点
那么BM为12，由勾股定理可知，AM=5，并且三角形BPN和三角形AMB相似，可得PN/AM=PB/AB
（1）
由于P是从B每秒1CM的速度向A走，那么PB=x，由（1）得PN=5x/13，BQ=BC-QC（2）
QC=2x（这个就不说明了，道理同PB）
由（2）得BQ=24-2x
那么三角形BPQ的面积=1/2
*（24-2x）*（5x/13)
(化简自己来吧）定义域为P点最多可以走13秒，13秒以后就到达A点，而Q点最多可以走12秒
12秒后到达B点
，所以去交易X的定义域为（0,12),0<x<12。
第二问的关键是如果PQ⊥AB,那么就说明△PQB与△ABM相似，反过来只有△PQB与△ABM相似，才能推出PQ⊥AB，那么只要BQ/BM=BP/BA成立就可以，带入BQ,BM,BP,BA
最后解得X=312/38，（感觉数不太对呢，数不重要，思路最重要），具体你自己再算下。
第三题，这分两方面考虑，第一是三角形BPQ与三角形BAC相似，也就是BP/BA=BQ/BC，看X是否有解，（解是否在阈值中）
求出X=312/50=6.几
成立
另一个是三角形BPQ与三角形BCA相似（角PQB行成个钝角，从而使角PQB=角BAC，自己理解吧）那么会得到BP/BC=BQ/AB，同样X会得到一个值
看是否在阈值中如在也成立
x=576/62，目测也在阈值里
，也成立。