Question

高中数学应用题，求解答

围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），总费用为y．
写出f（x）的单调区间，并证明！
看清楚题目再解答

Answer 1

新墙宽度＝360/x x∈（0，∞）
新墙总长＝720/x+（x－2）
新墙造价＝180×（720/x+x－2）
旧墙维修费：45x
y＝180×（720/x+x－2）+45x=129600/x+225x-360=45(5x+2880/x-8)
∵5x×2880/x＝14400，
∴当5x＝2880/x时，即x＝24时，5x+2880/x取得最小值，y的最小值为10440.
∴f（x）的单调区间是：（0，24】单调递减，（24，∞），单调递增。

追问

单调区间我知道。可是怎么算证明啊。就你这么写就好了么？

追答

证明的话，可以假设x＜24，则：(5x+2880/x)^2＞＝（5x-2880/x)^2+4×5×2880＞4×5×2880
可以得出结论y＞10440，且单调递减。
同理：x＞24，：(5x+2880/x)^2＞＝（5x-2880/x)^2+4×5×2880＞4×5×2880
同样可以得出结论y＞10440，且单调递增。
∴x＝24是最小值。∴单调区间成立。