Question

二阶连续偏导数和二阶混合偏导数有什么关系？

Answer 1

二阶连续偏导数推出二阶混合偏导数相等。

实际上如果对x, y的偏导在某点P的邻域存在，在P处可微，也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质。

首先偏导数是针对二元或二元以上的函数，导数是针对一元函数；

二阶偏导数连续，就是说二阶偏导数存在，并且二阶偏导数是连续函数；

二阶导数连续就是说二阶导数存在，并且这个二阶导函数是连续函数；

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。