Question

已知数列an满足1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an=n^2 （n≥1，n∈n*）bn=an *a(n+1)

1.求a2011
2.若bn=an *a(n+1) ，Sn为数列bn的前n项和，存在正整数n，使得Sn＞β-1/2,求实数β的取值范围

Answer 1

解：
1.
1/a1+1/a2+...+1/a(n-1)+1/an=n² (1)
1/a1+1/a2+...+1/a(n-1)=(n-1)² (2)
(1)-(2)
1/an=n²-(n-1)²
1/an=2n-1
an=1/(2n-1)
a2011=1/(2×2011-1)=1/4021
2.
bn=ana(n+1)=[1/(2n-1)][1/(2n+1)]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
Sn>β-1/2
β<Sn +1/2
β<n/(2n+1) +1/2
n/(2n+1)=[(n+1/2)-1/2]/(2n+1)=(1/2)-1/[4(2n+1)]
随n增大，2n+1递增，4(2n+1)递增，1/[4(2n+1)]递减，(1/2)-1/[4(2n+1)]递增，n/(2n+1)递增。

要不等式β<n/(2n+1) +1/2对一切正整数n恒成立，则当n/(2n+1)取最小值时，不等式同样成立。
n=1时，n/(2n+1)有最小值1/(2+1)=1/3
β<1/3+1/2
β<5/6

Answer 2

解：1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an=n^2
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/a(n-1)=(n-1)^2
相减得1/an=2n-1 则an=1/(2n-1)
故a2011=1/4021
bn=an *a(n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
则Sn=n/(2n+1)<n/2n=1/2
存在正整数n，使得Sn＞β-1/2
则满足β-1/2<1/2
故β<1

Answer 3

解：1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an=n^2
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/a(n-1)=(n-1)^2
相减得1/an=2n-1 则an=1/(2n-1)
故a2011=1/4021
]
则Sn=n/(2n+1)<n/2n=1/2
存在正整数n，使得Sn＞β-1/2
则满足β-1/2<1/2
故β<1
1

Answer 4

满足a1=2，且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）．（1）求a2、a3、a4的=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1) =-(1/2)^n 则；bn=1-(1/2)^n