Question

证明：三角形三条边的三条角平分线相交于一点

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Answer 1

三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。

显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)

过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。

由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)

由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)

根据等式(1)(2)(3)有AO1*AD＝AO2*AD，所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。

判定法：

1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

Answer 2

设角平分线AZ、BY交于O，
∵AZ平分∠BAC，
∴O到AB、AC的距离相等
同理O到BA、BC的距离相等，
∴O到CA、CB距离相等，
∴O在∠BCA的平分线上，
∴三角形三条边的三条角平分线相交于一点

Answer 3

△ABC中，设角平分线BY与CX交于点O.
只要证明：点O在∠BAC的平分线上
则只要证明点O到三边的距离相等就可以了.
证明:
作OE⊥BC于E，OD⊥AB于D，OF⊥AC于F.
∵ BY平分∠ABC,
∴ OE=OD （1）
∵ CX平分∠ACB,
∴ OE=OF （2）
∴ OD=OF
∴ O在∠BAC的平分线上
所以：三角形三条边的三条角平分线相交于一点

Answer 4

AZ BY角平分线OD OE OF 垂直AB,AC,BC
AZ角平分线 OD=OE
BY角平分线 OD=OF 得OE=OF
所以CX是角平分线

Answer 5

作OE⊥BC于E,OD⊥AB于D,OF⊥AC于F.
∵ BM平分∠ABC,
∴ OE=OD （1）
∵ CN平分∠ACB,
∴ OE=OF （2）
∴ OD=OF
∴ O在∠BAC的平分线上