Question

如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

1.
∵O为BC中点
∴CO=BO
∵△ABC为等腰直角三角形
∴AO=（1/2）BC
∴AO=BO=CO
2.
连接AO
∵△ABC为等腰直角三角形，且O为BC中点
∴∠CAO=∠B=45°
∵AN=BM
AO=BO
∴△AON≌△BOM
∴NO=MO
∴△OMN为等腰三角形

追问

△OMN应该是等腰直角三角形吧，你在补上我就选你

追答

∵∠ONA为△NCO的外角
∴∠ONA=∠NOC+∠C=∠NOC+45°
∵△AON≌△BOM
∴∠ONB=∠ONA=∠NOC+45°
∵∠ONB+∠B+∠BOM=180°
∴∠NOC+45°+45°+∠BOM=180°
∴∠NOC+∠BOM=90°
∴∠MON=90°
∵NO=MO
∴△OMN为等腰直角三角形
考虑不是太周全，谢谢指点！~

追问

你不是吧，只要在写三步就可以了= =

追答

呵呵，是比较复杂，很多都忘光了

Answer 2

1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以
O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
2）△OMN是等腰直角三角形。
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO
中，
AN=BM
，∠NAO=∠B
，AO=BO
，
∴△NAO≌
△MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

Answer 3

（1）OA=OB=OC
（2）等腰直角三角形
OA=OB,AN=BN;∠OAN=∠OBM；所以△OAN全等于△OBM；所以ON=OB
所以∠OMB=∠ONA
即∠ONM+∠ANM=180-∠OMN-∠AMN
因为∠OMN=∠ONM，∠ANM+∠AMN=90；所以2∠ONM=90。
所以OM=ON，∠NOM=90；得证。

Answer 4

1）.根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，可得到OA=OB=OC;
2）△OMN是一等腰直角三角形；
证明：连接OA，则根据边角边定理很容易证的三角形△OCN与△OAM全等，从而知道<CON=<AOM,同理可知<NOA=<MOB,所以<NOM=90°,同时根据△OCN与△OAM的全等也可以知道ON=OM，所以△OMN为等腰直角三角形；

Answer 5

1、OA=OB=OC=1/2=BC
2、联结OA，则∠CAO=∠B=45，AN=BM，OA=OB
∴△AON≌△BOM，∴ON=OM
∴△OMN是等腰三角形。
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