Question

已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x-1

（1）求函数f（x）的对称轴及在闭区间（0，π/2）上的最值
（2）若f（x0）=6/5，x0∈闭区间（π/4，π/2）求cos2x0的值

Answer 1

f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x-1
=√3sin2x+cos2x
=2(√3/2sin2x+1/2cos2x)
=2(sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6）
=2sin(2x+π/6)

(1)
对称轴：2x+π/6=2kπ+π/2
2x=2kπ+π/3
x=kπ+π/6；k∈Z
闭区间【0，π/2】
当x=π/2时；函数有最小值=-2sin(π/6)=-1
当x=π/6时，函数有最大值=2sin(π/2)=-2

(2)2sin(2x0+π/6)=6/5
sin(2x0+π/6)=3/5
sin2x0cosπ/6+cos2x0sinπ/6=3/5
√3sin2x0+cos2x0=6/5 （1）
x0∈[π/4，π/2]
2x0∈[π/2，π]
cos2x0≤0
2x0+π/6∈[2π/3,7π/6]
因为：sin(2x0+π/6)=3/5>0
所以：2x0+π/6∈[2π/3,π)
所以：cos(2x0+π/6)<0
cos(2x0+π/6)=-4/5
cos2x0cosπ/6-sin2x0sinπ/6=-4/5
-sin2x0+√3cos2x0=-8/5 （2）
(2)×√3+(1)得：
4cos2x0=-8√3/5+6/5
cos2x0=(3-4√3)/10