不定积分的计算过程是怎样的？
例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。
- 主要内容：
通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识，介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。
- 根式换元法：
设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：
∫x√(x+2)dx
=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2∫t^2*(t^2-2)dt,
=2∫(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
- 根式部分凑分法
∫x√(x+2)dx
=∫x√(x+2)d(x+2),
=2/3∫xd(x+2)^(3/2),
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,
- 整式部分凑分法
A=∫x√(x+2)dx,
=(1/2)∫√(x+2)dx^2,
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),
即：(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),
A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),
A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。
- 不定积分概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
- 不定积分的计算
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。
∫sinxdx/x
=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)
=-cosx/x+∫dsinx/x^2
=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3
=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)
=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5
=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)
扩展资料
在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
参考资料不定积分＿百度百科
