微分方程的解如何求？
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。
例如：
其解为：
其中C是待定常数；
如果知道
则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。
一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：
对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。
二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解
对于方程：
可知其通解：
其特征方程：
根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解
一般的通解形式为：
若
则有
若
则有
在共轭复数根的情况下：
r=α±βi
扩展资料
一阶微分方程的普遍形式
一般形式：F（x,y,y'）=0
标准形式：y'=f(x,y)
主要的一阶微分方程的具体形式
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源：百度百科-常微分方程
参考资料来源：百度百科-微分方程
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2024-04-02 广告
微分方程的解法主要有以下几种：
- 可分离变量的一阶微分方程。这类方程可以化成 令 ，可以通过下式求解： 如果 ，则易知 也是方程的解。
- 齐次方程。形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程，通过变量替换，可以将这类方程化为可分离变量的方程来求解。
- 可化为齐次方程的微分方程。有些问题本身虽然不是齐次的，但是通过适当变换，可以化为齐次方程。
一阶线性微分方程。形如 的方程称为一阶线性微分方程。当 时，上式变为 这个方程称为一阶齐次线性微分方程。一阶齐次线性微分方程是可分离变量的方程，由上面的方法可以得到方程的通解为 是任意常数。
