Question

问一道高中数学关于归纳法的题，麻烦好心的各位朋友们帮帮忙看下~ 谢谢啦~

题为求证：当n≥5时，2ⁿ>n²
下面是过程：当n=5时，2^5=32 ，5²=25，因此2^5>5² 。
假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正确的，那么由
2^(k+1)=2×2^k > 2×k² > k² + 5k ，① > k² + 2k +1 =(k+1)²
可知这个命题当n=k+1时也是正确的。因此这个命题成立。
请问各位，这里的① ：k² + 5k 这步是怎么来的? 我没太看明白~

Answer 1

因为k＞5，所以2×k²=k²+k*k＞k²+5*k，这么来的。

Answer 2

是因为k>=5时，K^2>5K
所以 ：2XK^2= K^2+K^2 >K^2+ 5k
其实不一定要这样做，最后一步直接去比较 2XK^2 和 （K+1)^2 比较大小就行了
比较大小最好的方法，两者直接相减差>0 即可。 这是通用的方法： f(k)=2XK^2-(K+1)^2= K^2-2K-1 这个函数求一下单挑性，在k>1 的情况下是单调递增的，所以当K=5的时候f(k)取得最小值=14. 也就是说相减是大于0的， 所以2XK^2= （K+1）^2

Answer 3

2K² =K² +K²
因为K≥5，所以K² =K×K≥5×K

Answer 4

因为此时假设k≥5已经成立，所以k²≥5k，故2^(k+1)=2×2^k > 2×k² =k²+k²≥k²+5k。