Question

过渡矩阵是可逆矩阵吗？

Answer 1

假设有2组基分别为A,B。由基A到基B可以表示为B=AP，过渡矩阵P=A^-1B。

过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换，在一个空间V下可能存在不同的基。

它表示的是基与基之间的关系。

若X是在A基下的坐标，而Y是在B基下的坐标，则X、Y满足X=PY。

过渡矩阵为可逆矩阵。证明如下：

证：过渡矩阵是线性空间一个基到另一个基的转换矩阵，即有(a1,...,an) = (b1,...,bn)P

因为 b1,...,bn 线性无关,

所以 r(P) = r(a1,...,an) = n 【满秩即可逆】

故 P 是可逆矩阵。

扩展资料：

相关定理：

设σ是线性空间V的一个线性变换，称：Ker(σ)= {α∈V|σ(α)=0}为σ的核；称：Im(σ) =σ(V) = {σ(α)|α∈V}为σ的像(或值域)，Ker(σ)与σ(V)都是V的子空间，且：dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。

证明：容易看出Ker(σ)是V的子空间。现在证明:σ(V)也是V的子空间 [2]  。

设ξ，η是σ( V)的任意两个向量，那么总存在α,β∈V，使得ξ=σ(α)，η=σ(β)，因为σ是V的线性变换，于是对于任意a,b∈F，有：

aξ+bη=aσ(α) +bσ(β) =σ(aα+bβ)∈σ(V)，

这就证明了σ(V)也是V的一个子空间。

设dim Ker(σ) =r,在Ker(σ)中取一个基{α1;...,αr}，它可以扩充为V的一个基{α1;...,αr,αr+1;...,αn}，则：

{σ(αr+1),...,σ(αn)}

是像空间σ(V)的一个基。事实上，显然有：

σ(V)=span{σ(α1),.. ,σ(αr),σ(αr+1),.. ,σ(αn)}.

注意到σ(α1)=σ(α2)=...=σ(αr)=0，因此：

σ(V) =span{σ(αr+1),...,σ(αn)}.

若

 

∈F使得kr+1σ(αr+1)+...+knσ(αn)=0，则：

σ(kr+1αr+1+...+knαn)=0,

于是，kr+1αr+1+...+knαn∈Ker(σ)，因此存在

 

使得：

kr+1αr+1+...+knαn=k1α1+...+knαn

又α1;...,αr,αr+1;...,αn线性无关，故k1=...=kr=kr+1=...=kn=0，由此可见:σ(αr+1),...,σ(αn)线性无关，因此σ(αr+1),...,σ(αn)组成σ(V)的一个基，并且dimσ(V) =n-r，故dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。

参考资料来源：百度百科--过渡矩阵

参考资料来源：百度百科--可逆线性变换