Question

二阶非齐次方程本身的特解系数为什么是一

Answer 1

二阶非齐次线性微分方程的一般形式为y"+py'+qy=f(x). 其中p,q是实数，f(x)称为自由项，是一个连续函数。而y"+py'+qy=0是二阶非齐次线性微分方程的标准式，又称为二阶齐次线性微分方程。
由于y",y',y是同一类型函数，它们之间相差只有一个常数因子，所以可以假设y=e^(rx)，并且将它代入二阶齐次线性微分方程，就可以得到r^2 e^(rx)+pre^(rx) +qe^(rx)=(r^2+pr+q)e^(rx)=0. 由于e^(rx)不可能等于0，所以r^2+pr+q=0，这就是二阶齐次线性微分方程的特征方程。
解特征方程，得到r的值，那么e^(rx)就称为二阶齐次线性微分方程的一个特解。由于r的根有三种情况，因此对应二阶齐次线性微分方程的通解也有三种情况，分别为：1、当r有两个不相等的实根时：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)；2、当r有两个相等的实根时：y=(C1+C2x)e^(r1x)；3、当r有一对共轭复根时：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)，其中r1=α+iβ,r2=α-iβ.
二阶非齐次线性微分方程的通解会等于非齐次方程的特解加上齐次方程的通解。如果记非齐次线性微分方程的特解为y*, 齐次方程的通解为Y，那么非齐次方程的通解就是y=y*+Y.
现在的问题就只剩下求非齐次方程的特解了。我们一般看到的非齐次方程都是y"+py'+qy=e^(λx)Pm(x)的形式，其中Pm(x)是关于x的m次多项式。可以设非齐次方程的特解为y*=Q(x)e^(λx)。将这个特解代入原微分方程，可得：
(Q(x)e^(λx))"+p(Q(x)e^(λx))'+qQ(x)e^(λx)=e^(λx)Pm(x), 化简得：
Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).
若λ是特征方程的根，则λ^2+pλ+q=0，可设Q(x)=xQm(x)，Qm(x)是关于x的m次多项式，这样才能使上式两边的整式次数相等。若λ不是特征方程的根，则设Q(x)=Qm(x).
当然非齐次方程还有一些其它的形式，但是一篇文章不可能介绍所有的情况，具体的题目需要具体分析。不论自由项怎么变化，我们都是根据自由项的形式，来设特解，然后把特解代入原微分方程，两边化简之后，利用待定系数法，确定系数，从而求得特解的。接下来举一个例子，可能会更有帮助。
例：求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。
第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1.
因此齐次方程的通解是：Y=C1e^(3x)+C2e^x.
又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得：
6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得：
6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，
因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4.
原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x).
我们可以检验一下：
y'=3C1e^(3x)+C2e^x+(x^2/2-x/2-1/4)e^(3x)+(x^3/2-3x^2/4-3x/4)e^(3x)=3C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/2-x^2/4-5x/4-1/4)e^(3x).
y"=9C1e^(3x)+C2e^x+(3x^2/2-x/2-5/4)e^(3x)+(3x^3/2-3x^2/4-15x/4-3/4)e^(3x)=9C1e^(3x)+C2e^x+(3x^3/2+3x^2/4-17x/4-2)e^(3x).
y"-4y'+3y=9C1e^(3x)+C2e^x+(3x^3/2+3x^2/4-17x/4-2)e^(3x)-4(3C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/2-x^2/4-5x/4-1/4)e^(3x))+3(C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x))=(x^2-1)e^(3x)，方程成立。
可见y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)就是原微分方程的通解。而y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)就是原微分方程的特解。
现在你应该不仅知道二阶非齐次线性微分方程的特解怎么求，连通解都会求了吧