Question

函数f(x)的定义域D={x|x≠0}且满足对于任意X1,X2属于D,有f(X1*X2)=f(X1)+f(X2) 1. 求f(1)的值

函数f(x)的定义域D={x|x≠0}且满足对于任意X1,X2属于D,有f(X1*X2)=f(X1)+f(X2) 1. 求f(1)的值 2.判断函数f(x)的奇偶性并证明 3.若f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)＜3且f(x)在(0,正无穷）上是增函数，求x的取值范围。

Answer 1

f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) (1)
1. 在（1）式中令 x1=x2=1，得
f(1)=f(1)+f(1)，从而 f(1)=0
2. 在（1）式中令 x1=x2=-1，得
f(1)=f(-1)+f(-1)，所以 f(-1)=0
再在（1）式中令x1=-1，x2=x，得
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
从而 f(x)是偶函数。
3. f(4)=1，f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2
f(64)=f(16×4)=f(16)+f(4)=3
所以 不等式f(3x+1)+f(2x-6)<3
可化为 f[(3x+1)(2x-6)]<f(64)
又f(x)是偶函数，所以 f(x)=f(|x|)
所以 f[|(3x+1)(2x-6)|]<f(64)
且f(x)在（0，+∞）上增，
从而 |(3x+1)(2x-6)|<64
|3x²-8x-3|<32
即 3x²-8x-3<32
且 3x²-8x-3>-32
所以 3x²-8x-35<0 (2)
且 3x²-8x+29>0 (3)
解（2）得 -7/3<x<5
(3)的解集为R，
从而 x的取值范围是-7/3<x<5

Answer 2

（1)令X1=X2=1,解得F(1)=0
(2)令X1=0，X2=-1，解得F(-1)=0
令X1=X,X2=-1，得F(-X)=F(X)+F(-1),即F(-X)=F(X)
所以是偶函数
（3）F(3X+1)+F(2X-6)=F[(3x+1)(2x-6)]=F(6X平方-16X-6)
F(4)=1，3F(4)=3，F(64)=3，所以原不等式可化为
F(6X平方-16X-6)<F(64)
F在0到正无穷是增函数，
1,6X平方-16X-6>0,即X<-1/3或X>3
6X平方-16X-6<64，即-7/3<X<5，
所以-7/3<X<-1/3,3<X<5
2.6X平方-16X-6<0，即-1/3<X<3，
-(6X平方-16X-6)>0
因为F是偶函数，
F(6X平方-16X-6)=F(-6X平方+16X+6)
-6X平方+16X+6<64无解
综上所述X的取值范围为-7/3<X<-1/3,3<X<5

Answer 3

解题如下：
1、f(X1*X2)=f(X1)+f(X2) ，令x1=1，x2=1，则f（1）=2f（1），所以，f（1）=0
2、令x1=x2=x，则f（x²）=2f（x），那么f（x）=f（x²）/2，由于f（-x）=f（x），所以该函数为偶函数
3、f(3x+1)+f(2x-6)=f【(3x+1)*(2x-6)】=f（6x²-18x-6）＜3，因为f（4）+f（4）+f（4）=f（64）=3，那么f（6x²-18x-6）＜3=f（64），因为f(x)在(0,正无穷）上是增函数，所以0<6x²-18x-6＜64，求出该方程即可以得出x的范围

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