Question

已知函数f(x)=1-2/x 1. 若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值 2.试判断f(x)在正无穷内的单调性，并用定义证明。

Answer 1

1）g(-x)=f(-x)-a
=1-2/(-x)-a
=2/x+(1-a)
-g(x)=-[f(x)-a]
=-(1-2/x-a)
=2/x+(a-1)
g(x)=f(x)-a为奇函数
则有g(-x)=-g(x)

即2/x+1-a=2/x+a-1
2a=2
a=1

2)判断单调递增
证明：设x1>x2>0
则有f(x1)-f(x2)
=1-2/x1-(1-2/x2)
=1-2/x1-1+2/x2
=2/x2-2/x1
=2(x1-x2)/(x1*x2)
因为x1>x2>0
所以x1-x2>0,x1*x2>0
所以f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)/(x1*x2)>0

Answer 2

（1）解：因为g(x)=1-2/x-a为奇函数，所以g(-x)=-g(x)
即：1+2/x-a=-(1-2/x-a)，即1-a=-1+a，所以a=1；
(2)f(x)在正无穷内的单调递增；
证：任取：x1>x2>0，则f(x1)-f(x2)=(1-2/x1)-(1-2/x2)=2/x2-2/x1=2(x1-x2)/x1*x2
因为：x1>x2>0，所以x1-x2>0，x1*x2>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即：f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)为增函数；