Question

定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2013）

Answer 1

f（1+x）=f（1-x），所以f（x）=f（2-x）

又因为这是奇函数，所以f（x）=-f（-x）
所以f（2-x）=-f（-x）

得到f（x）+f（x+2）=0
f（x-2）+f（x）=0
所以f（x-2）=f（x+2）
这是一个周期为4的周期函数

f（2013）=f（1）=1

追问

f（x）=f（2-x）为什么？

追答

你令x=x-1重新带进去即可

Answer 2

f(x)是周期为4的函数，所以f(2013)=f(1),而f(1)=x3,所以f(2013)=x3

追问

周期为何为4？

追答

f（1+x）=f（1-x），所以f（x）=f（2-x）

又因为这是奇函数，所以f（x）=-f（-x）
所以f（2-x）=-f（-x）

得到f（x）+f（x+2）=0
f（x-2）+f（x）=0
f(x)=-f(x-2)
f(x-2)=f(1+(x-3))=f(1-(x-3))=f(4-x)=-f(x-4)
所以f(x)=-f(x-2)=-(-(f(x-4)))=f(X-4)
所以周期为4