Question

已知函数f（x）=x^2+4x,（x<0）；4x-x^2,（x≥0）. 若f(2-a)>f(a),则实数a的取值范围是？

要详细的过程,以及充分的解析.最好在说一说碰到这种比较麻烦的问题该怎么做思路.

Answer 1

已知函数f（x）=x^2+4x,（x<0）；4x-x^2,（x≥0）. 若f(2-a^2)>f(a),则实数a的取值范围是？
解析：∵函数f（x）=x^2+4x,（x<0）
∴当x<0时，函数f(x)为开口向上的抛物线；
∵函数f（x）=4x-x^2,（x>=0）
∴当x>=0时，函数f(x)为开口向下的抛物线；
∴当x<-2时，函数f(x)单调减；
当-2<=x<2时，函数f(x)单调增；
当x>=2时，函数f(x)单调减；
又∵f(2-a^2)>f(a)
2-a^2-a>0==>-2<a<1
即当-2<a<1时，2-a^2>a；当a<=-2或a>=1时，2-a^2<=a

(2-a^2)^2+4(2-a^2)>a^2+4a
4-4a^2+a^4+8-4a^2>a^2+4a
a^4-9a^2-4a+12>0
(a+2)^2*(a-1)(a-3)>0
∴a<1且a≠-2或a>3

4(2-a^2) -(2-a^2)^2+>4a-a^2
8-4a^2-4+4a^2-a^4>4a-a^2
a^4-a^2+4a-4<0
(a+2)(a-1)(a^2-a+2)<0
∴-2<a<1

综上，-2<a<1

Answer 2

该函数为奇函数。
当x=0，f(x)=0
当x>0，f(-x)=-x^2-4x=-(x^2+4x)=-f(x)

在[0,+∞）时，f(x)=(x+2)^2-4，在[0,+∞）单调递增。
由奇偶性得函数在R上单调递增。
题目转化为
f(2-a^2)>-f(a)=f(-a)
所以2-a^2>-a
即(a-2)(a+1)<0
所以答案为(-1，2)。

Answer 3

f(x)=x²+4x
=(x+2)²-4 --- （x<0）

f(x)=4x-x²
=-（x-2)²+4 --- （x≥0)

（1）当a<0的时候，2-a>0
则由以上两式得：（2-a-2)²>(a+2)²-4
即 a²>a²+4a
4a<0
a<0
故a<0时，不等式成立
（2）当a≥0时，且a≤2时，即2≥a≥0时,2-a≥0,a≥0
-（2-a-2)²+4>-(a-2)²+4
即 a²<a²-4a+4
a<1
故此种情况时，0≤a<1时，不等式成立
（3） 当a>2时，2-a<0,a>0
则 （2-a+2)²-4>-(a-2)²+4
整理得 16-8a+a²>-a²+4a-4+4
即 a²-6a+8>0
结合条件，则a>4条件成立

综合（1），（2），（3）得
a的取值范围是，a≤1和a>4

Answer 4

若2-a<0,a<0
不成立

若a>=0,2-a>=0
0<=a<=2
则4(2-a)-(2-a)²>4a-a²
4a<4

所以0<=a<1

若a>=0,2-a<0
则a>2
则(2-a)²+4(2-a)>4a-a²
4-4a+a²+8-4a>4a-a²
a²-6a+6>0
3-√3<a<3+√3
所以2<a<3+√3

若a<0,2-a>=0
则a<0
所以4(2-a)-(2-a)²>a²+4a
8-4a-4+4a-a²>a²+4a
a²+2a-2<0
-1-√3<a<-1+√3
所以-1-√3<a<0

综上
-1-√3<a<1，2<a<3+√3

追问

更正一下是F(2-A^2),不是F(2-A),谢谢

追答

采纳我，重新问

Answer 5

首先：f(x)=x^2+4x 在 x≥0作图
然后 f(x)=4x-x^2 在x＜0作图
做完后发现这个是个递增的函数，因此在x属于正无穷到负无穷这个范围内只要
2-a＞a 就能得到f（2-a）＞f（a），因此a<1

追问

请看清楚题目,另外更正一下是F(2-A^2),不是F(2-A),谢谢