Question

数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,…,1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…2+1,的前n项的和Sn= 要完整的过程

Answer 1

这道题就是辅助你推导平方和公式，过程如下：

An=1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…2+1= 2(1+2+3+...n-1)+n =2 n(n-1)/2 +n=n(n-1)+n
又(n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2)=3n(n-1)
所以An=[(n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2)]/3+n
Sn=[3*2*1+4*3*2-3*2*1+5*4*3-4*3*2+...+(n+1)n(n-1)]/3+(1+2+...n)
=(n+1)n(n-1)/3+(n+1)n/2
=n(n+1)(2n+1)/6

追问

第2步是怎么出来的

追答

(n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2)=3n(n-1)这一步吗？
因为这类问题为了加总可以化简，需要把单项化成可以互相抵消的减式。
因为原来的是n(n-1)，考虑倒(n+1)-(n-2)=3，所以两边相乘，得到类似的变换。
这是一种常用的技巧，熟能生巧而已。

Answer 2

an=2[1+2+3+...+n]-n=n(n+1)-n=n^2
所以Sn=1^2+2^2+3^2+...+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6(*)

(*)
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
................................................................
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
3^3-2^3 = 3*2^2+3*2+1
4^3-3^3 = 3*3^2+3*3+1
.............................
......................................
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1将这n个式子相加得：
(n+1)^3-1=3Sn+(3/2)*n(n+1)+n
S n=[n(n+1)(2n+1)]/6

Answer 3

An=1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…2+1= 2(1+2+3+...n)-n =2 n(1+n)/2 -n=n^2
Sn=1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

推导 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
猜想：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=An^3+Bn^2+Cn+D
令n分别取1,2,3,4可得：
1=A+B+C+D
5=8A+4B+2C+D
14=27A+9B+3C+D
30=64A+16B+4C+D
联立解得：
A=1/3,B=1/2,C=1/6,D=0
即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

追问

这不是证明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 是正确的吗，可这个式子是怎么想到的？

Answer 4

An=n的平方
Sn=1+4+……+n的平方
=2n-1+4n-6+6n-15+……+n方-（2n方-n）=2n+4n+……+2n方-2(1+4+……+n方)-n(n+1)/2
3原式=n(n+1)-n(n+1)/2
原式=n(n+1)/6