Question

不等式必须是不等号吗

Answer 1

不等式
inequality
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.例如x2＋y2≥2xy,sinx≤1,ex＞0 ,2x＜3等 .根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式；只要有一边是超越式,就称为超越不等式.例如lg(1＋x)＞x是超越不等式.
通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )（其中不等号也可以为＜,≥,＞ 中某一个）,两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题.
不等式的最基本性质有：①如果x＞y,那么y＜x；如果y＜x,那么x＞y；②如果x＞y,y＞z；那么x＞z；③如果x＞y,而z为任意实数,那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y,z＞0,那么xy＞yz；⑤如果x＞y,z＜0,那么xz＜yz.
由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,其中比较有名的有：
柯西不等式：对于2n个任意实数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）.
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1,M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin,L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn,那么恒有S≤M≤L.
根据不等式的基本性质,也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理.主要的有：①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解.②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含,那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解.③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含,并且H（x）＞0,那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0,那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解.④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解.
不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地,用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）
“≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式.