Question

高等数学题，下图中的题目解题步骤？

Answer 1

分部积分法。
先求原函数，
S ln(1+x)dx
=xln(1+x)-Sxd(ln(1+x))
=xln(1+x)-Sx/(1+x) dx
=xln(1+x)-S(1+x-1)/(1+x) dx
=xln(1+x)-S(1-1/(1+x)) dx
=xln(1+x)-x+S1/(1+x) d(1+x)
=xln(1+x)-x+lnI1+xI+C
故原式=[xln(1+x)-x+lnI1+xI]（0,1）
=2*ln2-1

Answer 2

ln(1+x)是(1+x)*ln(1+x)-x+c对x微分得来，c是任意常数
因为微分后得到ln(1+x)+(1+x)/(1+x)-1=ln(1+x)
因此求得的值即[（1+x）*ln(1+x)-x+c]（这里取x=1）-[（1+x）*ln(1+x)-x+c]（这里取x=0）
=[2*ln2-1+c]-[1*ln1-0+c]
=2ln2-1+c-0+0-c
=2ln2-1

Answer 3

先对ln(1+x)积分，得到原函数F(X)=（1+x）ln(1+x)+C，C为常数
然后证明一下F(X)是增函数——就直接说明在（0,1）内F(X)的导数 ln(1+x)恒大于0就行
则原式=F(1)-F（0）
=2ln2

Answer 4

等于-1/2

原式子=（1/X+1）

然后把1和0带进去相减就是=1/2-1

=-1/2 

Answer 5