Question

高等代数难题

设e1,e2,e3,e4是四维线性空间F的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为
1 0 2 1
-1 2 1 3
2 -2 1 -2
（1）求A的核与值域
（2）求核的一组基及值域的一组基
设e1,e2,e3,e4是四维线性空间F的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为
A的矩阵是1 0 2 1
-1 2 1 3
1 2 5 5
2 -2 1 -2
（1）求A的核与值域
（2）求核的一组基及值域的一组基

Answer 1

1、令Ax＝0，做一般的线性方程组的求解即可。
第一行加到第二行，第三行减去第一行，第四行减去第一行的2倍，容易得到
基础解系是(－2，－3/2，1，0)和(－1，－2，0，1)。
记w1＝－2e1－3/2e2+e3，w2＝－e1－2e2+e4，则

Ker即为W＝{x：x＝k1w1+k2w2，k1，k2为任意}。
A的前两列线性无关，因此记
s1＝e1－e2+e3+2e4，s2＝2e2+2e3－2e4，
则值域S＝｛x：x＝k1s1+k2s2，k1，k2任意｝。
2、Ker的基和值域的基上面已经给出了，不知第一问要求Ker和值域应该用什么样子表示。