Question

函数f(x)=ax+b/x²是定义在R上的奇函数,且f(1/2)=2/5

求：（1）求实数a,b，并确定函数f（x）的解析式。（2）判断f(x)在（-1,1）上的单调性，并用定义证明你的结论。

Answer 1

原题是这样子吧：
函数f(x)=(ax+b)/(1+x²)是定义在R上的奇函数,且f(1/2)=2/5
【解 】因为是奇函数
所以f(x)=-f(-x)
所以(ax+b)/(1+x²)=f(x)=-f(-x)=-[(-ax+b)/(1+x²)]=(ax-b)/(1+x²),
所以ax+b=ax-b
所以b=0
即f(x)=ax/1+x²，
又f(1/2)=2/5
2/5=a*(1/2)/[1+(1/4)]
a=1
所以f(x)=x/(1+x²)

f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1,则：x1-x2<0, x1x2<1, 1-x1x2>0
f(x1)-f(x2)=[x1/(1+x1^2)]-[x2/(1+x2^2)]
=[(1+x2^2)x1-(1+x1^2)x2]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=(x1-x2)(1-x1x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]<0
f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数

Answer 2

解：f(x)是奇函数，那么f（-x）=-f（x），根据f(1/2)=2/5，那么f(-1/2)=-2/5，代入方程得到两个方程组：1/2a+4b=2/5，-1/2a+4b=-2/5，解此方程得到a=4/5，b=0，所以函数为f（x）=4/5x。
2、根据定义，设-1<x1 <x2 <1,那么f（x2）-f（x1）=4/5x2-4/5x1=4/5（x2-x1）>0，所以f（x）在（-1，1）上是单调递增函数。