Question

（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点

（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
（1）求证：BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长

Answer 1

1、∵AD=BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB(内错角）
∠DAE=90°(与∠ABC是同旁内角）
∵DE⊥AC
∴∠AFE=∠GFC=90°
∴∠DAC+∠EAC=90°
∠EAC+∠AEF=90°
∴∠DAC=∠AEF=∠ACB
在△ABC和△AEF中
∠EAC=∠CAE
∠ACB=∠AEF
AE=AC
∴△ABC≌△AEF
∴AF=AB
∴AE-AB=AC-AF
即BE=FC
在Rt△BEG和Rt△CFG中
BE=FC
∠FCG(∠ACB)=∠BEG(∠AEF)
∠GFC=∠BGE=90°
∴Rt△BEG≌Rt△CFG
∴BG=FG
2、连接AG
AG=AG
AF=AB
BG=FG
∴△ABG≌△AFG
∠BAG=∠GAF
∵AD=CD=2
DE⊥AC
∴AF=FC(等腰三角形三线合一）（1）
∵∠DAF=∠FCG
∠AFD=∠CFG=90°
∴△ADF≌△CFG
∴DF=FG……（2）
∵DG⊥AC……（3）
∴AGCD是菱形
∴∠DAF=∠GAF=∠BAG=1/3∠DAB=1/3×90°=30°
AG=AD=2
在Rt△ABG在
BG=1/2AG=1
∴AB=√(AG²-BG²)=√(2²-1)=√3

Answer 2

（1）连接EC，角AEC=角ACE,角AED=角ACB，所以角GEC=角GCE，所以GE=GC，所以三角形BGE和三角形FGC全等，所以BG=FG
（2）因为AD=DC所以角DCA=角DAC=角E,角FDC=角FDA=角FAE，所以三角形DFC相似于三角形DAE，又AF=AB=FC=BE，所以ED=4，AE=2倍根号3，AB=根号三