Question

在数列an中，a1=1,a(n+1)=2an+2^n ①设bn=an/2^（n-1）.证明：数列bn是等差数列

②求数列an的前n项和Sn
我是这样做的 不知错在哪？？
由题a(n+1)=2an+2^n得 a(n+1）+2^n=2（an+2^n）
∴（a(n+1)+2^n）/（an+2^n）=2

∴an+2^n是以3为首项2为公比的等比数列（a1=1,所以首项3）
设新数列Cn，Cn=3*2^（n-1）∴an=3*2^（n-1）-2^n
这样做与正确答案差太多。我为什么错了，以前老师也讲过这种做法！！！

Answer 1

证明：
①b(n+1)=a(n+1) /2^n=(2an+2^n) / 2^n =an/2^（n-1) +1 =bn+1
所以bn是等差数列
②由①知，b1=a1/1 =1 ,则bn是一个以1为首项，1为公差的等差数列。所以bn=n
又，bn=an/2^（n-1）.则an/2^（n-1）=n，化简，an=n*2^（n-1）.
这样，不知道你会不会做了。

你错在“由题a(n+1)=2an+2^n得 a(n+1）+2^n=2（an+2^n）”，2^n不是一个常数，如果是常数你的方法没错。

追问

这个公式a(n+1)=Aan+B 可得出a(n+1)+B/(A-1)=A(an+B) 的前提是A,B是常数吗??
还是别的什么？？

追答

嗯，是个常数。你刚刚那种解法，必须让a(n+1)旁边也有2^（n+1）才行。这种几个问的题目，最好联系第一问来解答，事半功倍

Answer 2

你解答中的由（a(n+1)+2^n）/（an+2^n）=2得出an+2^n是以3为首项2为公比的等比数列，这一步错了，应满足【a(n+1)+2^（n+1）】/（an+2^n）=2才能得出....是等比数列的。

追问

我们老师给了一个公式，大概是a(n+1)=Aan+B 可得出a(n+1)+B/(A-1)=A(an+B) 大概就是这个意思 为什么以前套用对，用在这个题不对啊

追答

有一种情况不能用这个公式，就是前面项的系数相加等于后面项的系数....应该是这样的 我有点忘了~