Question

高一数学函数，急！！！

设f(x)是定义在R上的函数，且对于任意x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)×f(y)，且x>0时，0<f(x)<1，
求证：（1）f(0)=1，且x<0时，f(x)>1；
（2）f(x)是R上的单调减函数。

Answer 1

1.当x=y时,f(x+y)=f(x)×f(y) 即f(2x)=f^2(x)
当x=0时,f(0)=f^2(0)
所以,f(0)=1
设x1,x2,x1+x2=0,则x1,x2中必有一小于0
则f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
即f(0)=f(x1)f(x2)=1
因为x>0时，0<f(x)<1
所以f(x1),f(x2)必有一大于1
2.设x1>x2,即x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x2+x1-x2)-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)
=f(x2)(f(x1-x2)-1)
f(x2)一定大于0,f(x1-x2)<1,f(x1-x2)-1<0
所以f(x1)-f(x2)<0
所以f(x)是R上的单调减函数