Question

n 若A为正交矩阵,则丨A丨= ,则矩阵A的特征值为

Answer 1

n 若A为正交矩阵,则AA‘=E.那么|A||A'|=1.又因为|A|=|A'|,那么|A|=|A'|=+1或者-1.
设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量
即有 Ax = λx,且 x≠0.
两边取转置,得 x^TA^T = λx^T
所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx
因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E
所以 x^Tx = λ^2x^Tx
由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1.