Question

已知函数f(x)=e^x(ax^2+a+1)(a∈R).(I)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（II）若f(x)≥2/

已知函数f(x)=e^x(ax^2+a+1)(a∈R).(I)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（II）若f(x)≥2/e^2对任意x∈[-2,-1]恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=e^x(ax^2+a+1)(a∈R).(I)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（II）若f(x)≥2/e^2对任意x∈[-2,-1]恒成立，求实数a的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=e^x(-x^2)，f(1)=-e
∴f’(x)=e^x(-x^2)-2xe^x==> f’(1)=-3e
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y+e=-3e(x-1)==>y=-3ex+2e
(2)解析：∵函数f(x)=e^x(ax^2+a+1)，f(x)≥2/e^2对任意x∈[-2,-1]恒成立
令f’(x)=e^x(ax^2+2ax+a+1)=0
当a<0时，X1=[-a-√(-a)]/a，X2=[-a+√(-a)]/a
∴f(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值；
当a>=0时，f’(x)>0，f(x)单调增；
要f(x)≥2/e^2对任意x∈[-2,-1]恒成立
只须f(-2)> 2/e^2
∴f(-2)=1/e^2(5a+1)>2/e^2==>5a+1>2==>a>1/5
∴a>1/5

Answer 2

a＞5/1