Question

初二数学问题，动点。

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q，连接BQ．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6时，求BQ的长度，并直接写出此时点P在AB上的位置．

Answer 1

第一问不需计算；第二问不需开方。

第一问：正方形是吧？AC把正方形平分了是吧？那么<DAA=<BAQ=45°是吧？那么△DAQ和△BAQ中，有两个角是相等的，并且这两个角的相邻边：AQ=AQ,AB=AD.那么这两个三角形就全等了。根本就不用计算。
第二问：借助
→感谢提供，修改

当△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6时
也就是：1/2 x AD x EQ=1/6 x AB x AD
即： EQ=1/3 x AB=1/3 x 6 = 2
因为 ： <EAQ=45°
所以 ： AE=EQ=2
所以 ： DE=AD-AE=6-2=4
在 △DEQ和△DAP中有以下关系：
EQ/AP=DE/AD
即：2 /AP=4 /6
SO： AP=3

Answer 2

(1)  ∵AQ=AQ ， ∠DAC=∠CAB=45，  AB=AD ， ∴△ADQ≌△ABQ

(2)QE是ΔADQ的高，AD*EQ/2=4*4/6，EQ=4/3

∵EQ∥AP1，AE=EQ=4/3，DE=4-4/3=8/3

∴AP1/AD=EQ/ED

AP1=4*(4/3)/(8/3)=2

即点P运动到AB的中点位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1/6；

(3)如图易知当点P运动到B、C点时，ΔADQ1和ADQ3都是等腰三角形。

若AD=AQ2=4时，ΔADQ2也是等腰三角形

此时CQ2=4√2-4，FQ2=FC=4-2√2，

CP2/FP2=FQ2/DC

CP2/(CP2-4+2√2)=4/(4-2√2)

解得CP2=4√2-4

即P2运动到距C (4√2-4)时ΔADQ2是等腰三角形。

Answer 3

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC平分角DAB,
即 角DAC=角BAC,
又∵AQ=AQ,
∴△ADQ≌△ABQ.
(2)作QM垂直AD，垂足为M，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴S正方形ABCD=36，
∵S△ADQ=1/6S正方形ABCD,
∴S△ADQ=6，
即 1/2AD×QM=6，
∴QM=2,
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠DAC=45°，
又∵QM垂直AD于M,
∴∠MQA=45°，
∴AM=QM=2，
∴DM=4,
∴DQ=根号（QM^2+DM^2)=√2^2+4^2=2√5，
由（1）知，△ADQ≌△ABQ，
∴BQ=DQ，
∴BQ=2√5.

此时P为AB中点。

那个，第二问是要直接写出P的位置是吧，那就不用证明了。我看了下面的答案，好像有的跟我的不一样，所以我想请你好好检查一下我的答案，以免出现错误。当然，我对我自己的答案有信心。好了，祝你能有好成绩！

Answer 4

第一问不用说，边角边全等
第二问：法一：可以利用坐标做。以A为原点AD为Y轴建坐标。ACD为ABCD面积的一半，而ADQ为ABCD的1/6，所以AQ为AC的1/3，则AQ为2倍根2。<CAB=45，则Q坐标可求，为（2,2），则DQ的直线方程可求，交X轴即AB的点P的坐标也可求，为（3,0）。B、Q两点坐标都已知，则距离当然可求啦！BQ求得为2倍根5。
法二：如同法一的思想，AQ求出来，连接BD，交AC于O点，则QO可求，用AO-AQ，即为根2.而BO知道为3倍根2，则BQ根据勾股定理为2倍根5.
法三：AQ知道后，AD为6知道，且角<DAQ为45，则根据cos(<DAQ)=(AD^2+AQ^2-DQ^2)/2*AD*AQ自然DQ就可求啦！！
至于AP可以用相似来求，APQ~CDQ，则由于AQ/AC为1/3，则AQ/CQ为1/2，则AP为3.

Answer 5

证明：因为在三角形ADQ和ABQ中，AQ=AQ AC=AC

        因为在正方形中AC为对角线，所以，角DAC=角BAC

所以三角形ADQ全等于ABQ（边角边）