Question

初二数学问题，动点。

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q，连接BQ．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6时，求BQ的长度，并直接写出此时点P在AB上的位置．

Answer 1

(1)证明：因为abcd是正方形，AC是正方形的角平分线
所以角DAC与角BAC相等
又因为AQ=AQ,AD=BA
因此三角形ADQ与三角形ABQ全等（SAS)
即无论点P运动到AB上何处时，都有三角形全等
（2）Q点在AC的三分之一处

Answer 2

设Q到正方形边长AD的垂直距离为x1，
设Q到正方形边长AB的垂直距离为x2，
AC为正方形对角线，点P在AB上从A向B运动，连接DP交于点Q，Q点为AC线上的点，则其到正方形边长垂直距离的x1=x2，则△ADQ=AD*x1/2，△ABQ=AB*x2/2，而AD=AB=6,.
因此，△ADQ≌△ABQ.
(AD*x1/2)/（AD*AD)=1/6，x1=2
根据相似三角形，AP=3，P在AB的中点。

Answer 3

（1）证明：∵正方形ABCD
∴AD＝AB＝BC＝DC
∴△ADC≌△ABC
∴∠DAQ＝∠BAC＝45°
∵AQ＝AQ
∴△ADQ≌△ABQ
（2）∵S△ADQ：S□ABCD＝1：6，S△ADC：S□ABCD＝1：2
∴S△ADQ：S△ADC＝1：3
∵S△ADQ＝0.5×AD×AQ×sin∠DAQ，S△ADC＝0.5×AD×AC×sin∠DAQ
∴AQ＝AC×1/3＝AB×√2/3
∴BQ＝DQ＝√（AB×AB＋AQ×AQ－2×AB×AQ×COS∠DAQ）＝√5/3×AB
∵∠AQP＝∠CQP（对顶角相等），∠PAQ＝∠DCQ＝45°（内错角相等）
∴△APQ∽△CDQ
∴AP：CD＝AQ：CQ＝1：2
∴P在AB的中点

Answer 4

1、过Q作QM垂直于AB，由ADQ的面积与正方形ABCD的面积比是1:6时可以知道三角形ADQ的面积为1，所以三角形ADQ的高QM=2，由平行线分线段成比例定理，AM:AB=QM:BC=2:6=1:3,

所以AM=2,BM=6-2=4.由勾股定理得

BQ=根号（QM^2+BM^2)=根号（4+16）=2√5。

2、过Q作QN垂直于AD,易知QMAN为正方形，所以QN=QM=2,AN=QN=2,所以DN=4，再根据平行线分线段成比例定理，可得

DN:AD=QN:AP=4:6=2:3,所以AP=NQ*3/2=3,显然

AP=3=1/2AB,所以P为AB的中点。

你看看能不能看懂。这是我的解法。顺便针对楼上的说两句，几何有的时候很难想到，特别是加辅助线的时候，必要的时候需要人提醒，能帮别人提醒的时候还是尽量帮别人提醒一下。

希望楼主能看懂

Answer 5

1) ∵AQ=AQ ， ∠DAC=∠CAB=45， AB=AD ， ∴△ADQ≌△ABQ
(2)AD*EQ/2=4*4/6，EQ=4/3
∵EQ∥AP1，AE=EQ=4/3，DE=4-4/3=8/3
∴AP1/AD=EQ/ED
AP1=4*(4/3)/(8/3)=2
即点P运动到AB的中点位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1/6