Question

在三角形ABC中已知P为BC边垂直平分线上一点，<PBG＝1/2<A，BP，CP分别交AC，AB于点D，E，求证：BE=CD(...

在三角形ABC中已知P为BC边垂直平分线上一点，<PBG＝1/2<A，BP，CP分别交AC，AB于点D，E，求证：BE=CD(顶点为A,底边为BC,左是顶点B，右边是顶点C,P在三角形内部。图形是锐角三角形，垂直平分线PG垂直BC于点G。）

Answer 1

 

证明：截取FP=EP,

因为PG垂直平分BC

所以∠PBC=∠PCB,PB=PC,

又∠EPB=∠FPC

所以△BPE≌△CPF(SAS),

所以BE=CF,∠APB=∠FCP

又∠CFD=∠FBC+∠BCF=∠FBC+∠BCP+∠FCE=∠A+∠FCE,

∠CDF=∠A+∠ABD,

所以∠CFD=∠CDF,

所以CF=CD,

所以BE=CD

Answer 2

解：
延长CE，过B做∠CBF=∠CPB F为BF交CE延长线的点
∵P为BC中垂线上一点（PG就是BC中垂线，PG⊥BC）
∴BG=BC所以∠PBC=∠PCB
∵∠CBF=∠CPB（自己做的）
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF=180°-∠BPC-∠PCB=∠PBC=∠PCB
所以BF=BC
∵∠PBC=∠PCB=1/2∠A
∴∠PBC=180°-∠A=∠EPD
在四边形AEPD中，180°=∠A+∠EPD
所以∠AEP+∠ADP=180°
所以∠AEP=∠FEB=180-∠ADP=∠BDC
在△FBE和三角形BCD中
∠F=∠DBC
∠FEB=∠BDC
BF=BC
所以两三角形全等
所以BE=CD