Question

已知平面向量A=(根号3，-1)，向量B=（1/2，根号3/2）

已知平面向量A=(根号3，-1)，向量B=（1/2，根号3/2）
若存在不同时为0的实数kt，使得向量x=A+(t²-3)B,向量Y=-kA+tB,且向量X⊥向量Y，求函数关系式k=f(t)

Answer 1

解：由题意知
x=( , ),
y=( t－ k, t+k)
又x⊥y故x•y= ×( t－ k)+ ×( t+k)=0
整理得：t2－3t－4k=0即k= t3－ t
解：由（2）知：k=f(t)= t3－ t
∴k′=f′(t)= t2－
令k′＜0得－1＜t＜1;令k′＞0得t＜－1或t＞1
故k=f(t)单调递减区间是（－1，1），单调递增区间是（－∞,－1）∪(1,+∞).

追问

答案是k=1/4(t³-3t)

追答

向量a=（根号3，-1），b=（1/2,根号3/2)，
则a^2=10，b^2=1.
显然有a点乘b = 0
则有向量a和b垂直
已知x=a+(t^2-3)b,y=-ka+tb,
因为x⊥y
则有x点乘y = (a+(t^2-3)b) •(-ka+tb)
=-ka^2 +tab -k(t^2-3)ab +t(t^2-3)b^2
=-ka^2 + t(t^2-3)b^2 (ab =0)
= -10k + t(t^2-3) (a^2 = |a|^2 = 10， b^2= |b|^2 = 1)
=0
所以有
k = t(t^2-3)/10
即k = (t^3-3t)/10.