Question

面积在定积分中有正负之分吗?那为什么定积分有正负？

Answer 1

1、严格来说,面积的积分,永远不会出现负,永远为正.
2、但是很多烂教师,烂教科书上,常常会有谬论,它们会经常胡说八道.
例如,它们会说,当曲线在x轴的下方时,积分是负,为了使得面积为正,
必须再加一个负号,以确保积分后的面积为正.
你看,这些烂教师多么振振有词!
3、这些烂教师的概念错误出在,拿起函数,胡乱积分一气,以为就是面积,
发现出现负号了,就立马再加上一个负号,负负得正,凑到一个正值后,
它们就洋洋得意了,以为自己神通了.有更加阿Q的教师会说,面积永远
为正,当曲线图形在x轴的下方时,要加绝对值!多么伟大!多么阿Q兮兮!
这样的烂教师,俯拾皆是.
4、当这些烂教师解答复杂的空间多维的面积、体积、曲线长度、质量、动量、
惯量、电量、能量、、、、、等等实际问题时,它们早就逃到了九霄云外.
记住：只要是上方曲线的函数减去下方曲线的函数时,永远没有负号出现!
无论什么样的应用题,只要概念清楚就不会出现负号!这个概念就是
“增量”的概念,就是沿着坐标轴考虑问题,只要上方的函数减去下方
的函数,只要沿着坐标轴的正方向积分,永远正确,万无一失!
面积如此,体积如此,任何实际应用题,均是如此!
5、至于,为什么对x轴下方的曲线积分,譬如y=sinx [从0积分到π时为正],从
π积分到2π时却为负?那是因为所我们计算的是曲线与x轴之间的面积,x轴
本身的方程是y=0.当计算从0到π的面积时,是上方的函数sinx减去0,再积
分.由于我们习惯性地不写出0,以至于概念上会有漏缺；当计算从π到2π
之间的面积时,是上方的函数0减去下方的函数sinx,是对(-sinx)积分,而不
是对sinx积分后再加一个负号!由于大大咧咧的教师为数太多,为害太大,
以至于很多学生被误导终生,这些学生长大后,继续以讹传讹,继续误导下
一代,下一代的下一代.呜呼哀哉!