Question

大富翁机率问题

Answer 1

更新1:

注意!!!!是只计算第一圈!!!(打骰次数不限)

更新2:

又如第12格
打出1次骰就中是一种可能(1/36)
打出2次才中也是一种可能 (如第一次打出2和3
第二次打出4和3
才到第12格)
打出三次
四次...等等 要把这些机率都加起来才算是那一格被踩中的机率

首先，给出投掷两颗匀称骰子时，各个点数和的概率： 点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 概率 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 要计算踏中第n格的概率，可作如下考虑： 定义P(n)为踏中第n格的概率。 在踏中第n格（假设n为正整数）之前，会有下列的可能性： (1) 在第(n-2)格掷得点数和为2； (2) 在第(n-3)格掷得点数和为3； (3) 在第(n-4)格掷得点数和为4； (4) 在第(n-5)格掷得点数和为5； (5) 在第(n-6)格掷得点数和为6； (6) 在第(n-7)格掷得点数和为7； (7) 在第(n-8)格掷得点数和为8； (8) 在第(n-9)格掷得点数和为9； (9) 在第(n-10)格掷得点数和为10； (10) 在第(n-11)格掷得点数和为11； (11) 在第(n-12)格掷得点数和为12。 故此，我们得出递归关系式(recurrence relations)： P(n) = [P(n-2)*1 + P(n-3)*2 + P(n-4)*3 + P(n-5)*4 + P(n-6)*5 + P(n-7)*6 + P(n-8)*5 + P(n-9)*4 + P(n-10)*3 + P(n-11)*2 + P(n-12)*1]/36。 当k < 0时，定义P(k) = 0（因为不可能在第(-1)、(-2)...格出现）。 另外，定义P(0) = 1（因为在第0格开始）。 根据以上递归关系式，并在计算机（或试算表）的协助下，P(n)的数值可一一求得，如下表列： 第__格 概率(准确至小数点后12位) 1 0.000000000000% 2 2.777777777778% 3 5.555555555556% 4 8.410493827160% 5 11.419753086420% 6 14.662637174211% 7 18.222736625514% 8 16.634575998323% 9 15.552602499619% 10 14.778379568769% 11 14.127531398711% 12 13.419944115166% 13 12.470357532339% 14 13.856733998588% 15 14.577135028208% 16 14.835462718374% 17 14.788998341445% 18 14.567233892515% 19 14.288627461098% 20 14.076409441802% 21 14.074487228672% 22 14.155829388956% 23 14.250305429015% 24 14.324317122435% 25 14.364991042100% 26 14.367048113225% 27 14.320718896912% 28 14.276360881384% 29 14.252805073293% 30 14.251476065809% 31 14.265180184901% 32 14.283608629366% 33 14.297143339436% 34 14.300286989638% 35 14.295935994681% 36 14.288901516830% 37 14.282995685566% 38 14.280152812847% 39 14.280577338958% 40 14.283223633606% 由此可见，在第一圈中，第7格被踏中的概率最高。然而，往后的概率渐趋平均，并趋近于1/7 = 14.285714285714...%。 ********************************* 上述方法似乎未能达到发问者「又易又快」的标准。然而，可以根据上述的递归公式证明，此问题的通解相当复杂（涉及一元十二次方程的准确解）。 同样的方法亦可推广至三颗或更多颗骰子的情形。 2008-12-31 18:14:04 补充： 抱歉，解答的格式出现问题，致使较难阅读。祈为鉴谅。
再计落去便每一格都有相同的机率到达 但如果限定只用打几多次骰，咁便会这样 打一次骰 2:1/36 3:2/36 4:3/36 5:4/36 6:5/36 7:6/36 8:5/36 9:4/36 10:3/36 11:2/36 12:1/36 2008-12-31 16:28:38 补充： 打两次骰 4:1/1296 5:4/1296 6:10/1296 7:20/1296 8:35/1296 9:56/1296 10:80/1296 11:104/1296 12:125/1296 13:140/1296 14:146/1296 15:140/1296 16:125/1296 17:104/1296 18:80/1296 19:56/1296 20:35/1296 21:20/1296 22:10/1296 23:4/1296 24:1/1296 2008-12-31 16:28:49 补充： 打三次骰 6:1/46656 7:6/46656 8:21/46656 9:56/46656 10:126/46656 11:252/46656 12:456/46656 13:756/46656 14:1161/46656 15:1666/46656 16:2247/46656 17:2856/46656 18:3431/46656 19:3906/46656 20:4221/46656 21:4332/46656 22:4221/46656 23:3906/46656 24:3431/46656 25:2856/46656 26:2247/46656 27:1666/46656 28:1161/46656 2008-12-31 16:29:04 补充： 29:756/46656 30:456/46656 31:252/46656 32:126/46656 33:56/46656 34:21/46656 35:6/46656 36:1/46656 打四次骰 1:3368/1679616 2:1708/1679616 3:792/1679616 4:330/1679616 5:120/1679616 6:36/1679616 7:8/1679616 8:2/1679616 9:8/1679616 10:36/1679616 11:120/1679616 2008-12-31 16:29:15 补充： 12:330/1679616 13:792/1679616 14:1708/1679616 15:3368/1679616 16:6147/1679616 17:10480/1679616 18:16808/1679616 19:25488/1679616 20:36688/1679616 21:50288/1679616 22:65808/1679616 23:82384/1679616 24:98813/1679616 25:113688/1679616 26:125588/1679616 2008-12-31 16:29:18 补充： 27:133288/1679616 28:135954/1679616 29:133288/1679616 30:125588/1679616 31:113688/1679616 32:98813/1679616 33:82384/1679616 34:65808/1679616 35:50288/1679616 36:36688/1679616 37:25488/1679616 38:16808/1679616 39:10480/1679616 40:6147/1679616
第一格: 0% 第二格: 2.77777777...% 即1/36 第三格: 5.55555555...% 即2/36 第四格: 8.410493827...% 即3/36 第五格: 11.41975309...% 即4/36 如此类推，第r格=(r-1)/36，最多第12格(6
6)。