Question

求微分方程y'＝x＋y／x－y满足y|x＝1的特解。

Answer 1

解:微分方程为y'=(x+y)/(x-y)，设y=ux，化为(ux)'=(x+xu)/(x-xu)，u+u'x=(1+u)/(1-u)，u'x=(1+u)/(1-u)-u，u'x=(1+u²)/(1-u)，

(1-u)du/(1+u²)=dx/x，2du/(1+u²)-2udu/(1+u²)=2dx/x，2arctanu-ln(1+u²)=lnx²+ln|c|(c为任意非零常数)，微分方程的通解为2arctan(y/x)=ln[c²(x²+y²)]

∵初始条件不完整 ∴无法求出具体特解

用微分方程求解泛函

请参考

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

题目有歧义，若是 y' = (x+y)/(x-y), 则为齐次方程，
令 y = px， 则 p+xdp/dx = (1+p)/(1-p)
xdp/dx = (1+p^2)/(1-p)
(1-p)dp/(1+p^2) = dx/x
arctanp - (1/2)ln(1+p^2) = lnx + (1/2)lnC
2arctanp = ln(1+p^2) + 2lnx + lnC
Cx^2(1+p^2) = e^(2arctanp)
通解 C(x^2+y^2) = e^[2arctan(y/x)]
y(1) = 1 代入，得 C = (1/2)e^(π/2)
则 (1/2)e^(π/2)(x^2+y^2) = e^[2arctan(y/x)]

Answer 4

解：微分方程为y'=(x+y)/(x-y)，化为dy/dx=(x+y)/(x-y)，设y=ux，方程化为d(ux)/dx=(x+xu)/(x-ux)，

xdu/dx+u=(1+u)/(1-u)，xdu/dx=(1+u²)/(1-u)，

(1-u)du/(1+u²)=dx/x，2du/(1+u²)-2udu/(1+u²)=2dx/x，2arctanu-ln(1+u²)=lnx²+ln|c|(c为任意非零常数)，2acrtanu=ln[cx²(1+u²)]，微分方程的通解为2arctan(y/x)=ln[c(x²+y²)]

解常微分方程

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