Question

高一数学，高手快来帮忙啊！！！！！

5. 设二次函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),对于任意α，β，恒有f(sinα)>=0,f(2+cosβ)<=0
(1)求证：b+c=-1且c>=3
(2)若函数f(sinα)的最大值为8，求b,c的值
6.已知△ABC是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB AC上的动点，D为BC中点，连接AD,MN,线段MN经过△ABC中心G，设角MGA=α（π/3<=α<=2π/3）
（1）试将△AGM, △AGN的面积（记为S1,S2）表示为α的函数
（2）求y=1/(S1^2)+ 1/(S2^2)的最大值与最小值

Answer 1

5、
(1)因为对于任意α，β，恒有f(sinα)>=0,f(2+cosβ)<=0
则不妨令α=π/2,β=π,得f(1)>=0,f(2-1)=f(1)<=0,
即f(1)=1+b+c=0
即b+c=-1,
又令α=π/2,β=0得
f(1)=1+b+c>=0
f(3)=9+3b+c<=0…………A
所以-3-3b-3c<=0…………B
则用A+B,得
6-2c<=0
即c>=3

(2)
由（1）知b=-1-c,c>=3,所以b<=-4
所以当sinα=-1时，有f(sinα)的最大值=1-b+c=8…………M
又由（1）得b+c=-1…………N
所以由N、M联立解得
b=-4
c=3

6、
(Ⅰ)在三角形AGM中，由正弦定理：

sin∠AMG/AG=sin∠MAG/GM

其中∠MAG=30°，

∠AMG=180°-(30°+α)，

AG=2/3*AD=2/3*sin60°*AB=根号3/3，
GM=sin∠MAG*AG/sin∠AMG=根号3/6sin(30°+α)

同理，在三角形AGN中，
GN=根号3/6sin(a-30°)

S1=1/2AG·GMsinα=1/2*根号3/3*根号3/6sin(30°+α)*sinα=sinαsin(30°+α)/12

S2=1/2AG·GNsin(180°-α)=1/2*根号3/3*根号3/6sin(a-30°)*sinα=sinαsin(a-30°)/12

(Ⅱ)y=1/(S1^2)+ 1/(S2^2)
=144/[(sinα)^2*sin^2(a-30°)]+144/[(sinα)^2*sin^2(30°+α]
=72(3+cot^2α)

∵π/3<=α<=2π/3

∴-根号3/3<=cotα<=根号3/3，0<=cot^2α<=1/3

∴ymin=216，ymax=240