Question

求极限lim(x,y)→(0,2)x^2*y*sin(1/(x^2+y^2))

Answer 1

根据极限的定义，我们需要求出$x^2ysin(1/(x^2+y^2))$的值，当x和y同时趋近0时，这个函数的值就是这个极限的值。

当x和y同时趋近0时，我们可以假设$x^2$和$y^2$的值都是非常小的正数，即$x^2$和$y^2$都接近于0。

在这种情况下，我们可以忽略$sin(1/(x^2+y^2))$中的$1/(x^2+y^2)$项，并认为$sin(1/(x^2+y^2))$约等于1。

因此，当x和y同时趋近0时，$x^2ysin(1/(x^2+y^2))$的值约等于$x^2*y$。

根据极限的定义，我们可以得到：

$$\lim_{(x,y) \to (0,2)} x^2ysin(1/(x^2+y^2)) = \lim_{(x,y) \to (0,2)} x^2*y = 0$$

所以，$$lim(x,y)→(0,2)x^2ysin(1/(x^2+y^2)) = 0$$