Question

已知二次函数f（x）=-x²+ax+b 1.若函数f（x）的图像关于直线x=1对称，且f（2）=3，

求函数f（x）的解析式
2.若f（0）=-1，且函数f（x）在区间（-3,5）内有两个零点，求a的取值范围
3.在（2）的条件下，求函数f（x）在区间[0,2]上的最大值

Answer 1

1.对称轴x=a/2=1;所以a=2
将f(2)=3代入，3=-4+4+b;所以b=3
f(x)=-x^2+2x+3
2.f(0)=-1,所以b=-1;f(x)=-x^2+ax-1
f（x）在区间（-3,5）内有两个零点,得到以下方程组：
f(-3)=-3a-10<0
f(5)=5a-26<0
f(a/2)=a^2/4-1>0
所以 -10/3<a<-2或2<a<26/5
3.当-10/3<a<-2时，f(x)在[0,2]上单调递减，最大值为f(0)=-1
当2<a<=4时,最大值为f(a/2)=a^2/4-1
当4<a<26/5时,f(x)在[0,2]上单调递增，最大值为f(2)=2a-5

Answer 2

1.-a/(-2)=1,，∴a=2
又f(0)=-1，即b=-1
∴f(x)=-x²+2x-1