Question

原级数逐项求导（积分）后，收敛半径不变，收敛域缩小（扩大），为什么

Answer 1

这句话不是绝对的，收敛半径不变是对的，收敛域缩小（扩大）不一定正确。

∑a(n) x^n 积分得 ∑a(n)x^(n+1)/(n+1)

收敛半径 R=lim a(n)/a(n+1)

而 lim[a(n-1)/n] /[a(n]/(n+1)] 仍为R，收敛半径不变

原 ∑a(n) （-R）^n 有可能不收敛， 但 ∑ a(n)（- R）^(n+1)/(n+1) 有可能收敛

如 ∑（-1）^n 不收敛，但∑ （- 1）^(n+1)/(n+1) 是交错级数，收敛域扩大了

而对∑ x^n/[n(n+1)] 收敛域为[-1,1]

积分后得 ∑ x^(n+1)/[n(n+1)²] 收敛域不变仍为[-1,1]

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

这句话不是绝对的，收敛半径不变是对的，收敛域缩小（扩大）不一定正确
∑a(n) x^n 积分得 ∑a(n)x^(n+1)/(n+1)
收敛半径 R=lim a(n)/a(n+1)
而 lim[a(n-1)/n] /[a(n]/(n+1)] 仍为R，收敛半径不变
原 ∑a(n) （-R）^n 有可能不收敛， 但 ∑ a(n)（- R）^(n+1)/(n+1) 有可能收敛
如 ∑（-1）^n 不收敛，但∑ （- 1）^(n+1)/(n+1) 是交错级数，收敛域扩大了

而对∑ x^n/[n(n+1)] 收敛域为[-1,1]
积分后得 ∑ x^(n+1)/[n(n+1)²] 收敛域不变仍为[-1,1]