Question

已知函数f（x）满足f（x）=f'( 1 )e^(x- 1 )-f(0)x+( 1 /2)x²

已知函数f（x）满足f（x）=f'( 1 )e^(x- 1 )-f(0)x+( 1 /2)x²
（ 1 ）求f（x）解析式及单调区间
（2）若f（x）≥（ 1 /2）x²+ax+b，求（a+ 1 ）b的最大值。

Answer 1

（1）
f(0)=f'（1）/e…………(1)
对f(x)求导：
f'(x)=f'(1)e^(x-1)-f(0)+x
那么f'(1)=f'(1)-f(0)+1
那么f(0)=1
则根据（1）有f'(1)=e
所以f(x)=e^x-x+(1/2)x^2

f'(x)=e^x+x-1

x>0,f'(x)>0;x<0,f'(x)<0
那么f(x)在（-∞，0）单调递减；在[0，+∞)单调递增

（2）f（x）≥（ 1 /2）x²+ax+b
即可令：
g(x)=f(x)-[( 1 /2）x²+ax+b]
=e^x-(a+1)x-b
≥0

如果上式对-∞成立，那么：
-（a+1)≥0………………（2）
如果（2）成立，那么可知g(x)在R上是增函数
g(0)=1-b>0
那么b>1
而根据（2）a+1≤0
那么（a+ 1 ）b≤0，即最大值是0

备注：第二问我是按照f（x）≥（ 1 /2）x²+ax+b恒成立做的，你的题意没说清~~

Answer 2

这个是老师给的答案~