Question

三角形ABC中，已知：(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，确定三角形的形状

Answer 1

解：(a+b+c)(a+b-c)=a²+b²+2ab-c²=3ab
所以c²=a²+b²-ab
余弦定理： c²=a²+b²-2abcosC
所以cosC=1/2
所以C=60°
所以A=120°-B
2cosAsinB=sinC
所以 cos（120°-B）sinB=sinC/2=√3/4
sinB（-cosB/2+√3sinB/2）=√3/4
最终化简的 sin（2B+60°）=0
所以2B+60°=kπ k属于Z
又0＜B＜120° 所以B=60°
所以A=B=C=60°
所以△ABC为等边三角形。

Answer 2

先用平方差公式，看成(a+b)^2-c^2=3ab。再打开化简得:a^2+b^2-c^2=ab。在用余弦定理，算出C角=60度。 又将sinC换成sin(A+B)打开代入，化简得:sin(A-B)=0，所以:A=B，又C=60度，所以，是正三角形

Answer 3

(a+b+c)(a+b-c)=3ab
(a+b)²-c²=3ab
a²+b²-c²=ab
由余弦定理得：
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
=(ab)/(2ab)
=1/2
所以：C=60°

sinC=sin(180°-A-B）
=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
因为已知2cosAsinB=sinC
所以：
sinAcosB-cosAsinB=0
sin(A-B)=0
A=B
这是等腰三角形
又因为C=60°
所以，三角形的形状是等边三角形

Answer 4

在三角形中 A+B+C=π

所以sin C=sin [π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
又因为2cosAsinB=sinC
所以sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB
所以sinAcosB-cosAsinB=0
所以sin(A-B)=0
所以A=B
所以 a=b

(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][)(a+b)-c]=(a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2=4a^2-c^2
3ab=3a^2

因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab
所以4a^2-c^2=3a^2
所以a=c
所以a=b=c
等边三角形

Answer 5

是等边三角形
2cosAsinB=sin(π-A-B)
=sinAcosB+sinBcosA
cosAsinB=sinAcosB
sinB/cosB=sinA/cosA
tanB=tanA
又因为在三角形内，所以A=B所以a=b
(a+a+c)(a+a-c)=3a^2
4a^2-c^2=3a^2
a^2=c^2
所以a=c
总是得三角形ABC为等边三角形