Question

已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5*3^n求证：

已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5*3^n求证：1.数列{an-3^n}是等比数列，并写出an的表达式；2.设3^nbn=n(3^n-an)，且Sn=丨b1丨+丨b2丨+…+丨bn丨＜m，对于n∈N*恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

1.an+1=-2an+5*3^n
a(n+1)-3^(n+1)=-2a(n)+5*3^n-3^(n+1)=-2a(n)+5*3^n-3*3^n=-2(a(n)-3^n)
(a(n+1)-3^(n+1))/(a(n)-3^n)=-2=q
所以数列{an-3^n}是等比数列
a(n)-3^n=(a(1)-3^1)*q^(n-1)=(5-3)*(-2)^(n-1)=2*(-2)^(n-1)
a(n)=2*(-2)^(n-1)+3^(n)
2.3^nbn=n(3^n-an)
b(n)*3^n=n*(3^n-2*(-2)^(n-1)-3*n)
b(n)=n*(-2)^n/3^n=(-2/3)^n
及当 n 为奇数时，b(n)<0,为偶数时，b(n)>0
|b(n)|>0
所以原等式Sn=丨b1丨+丨b2丨+…+丨bn丨＜m可看做是
s(n)=Σb(i)<m,b(i)=(2/3)^n,i=1,2,...,n.
及转化为等比数列求和=2/3(1-(2/3)^n)/(1-2/3)=2-2*(2/3)^n<m
2/3<1
(2/3)^n≤2/3
-2(2/3)^n≥4/3
m>2/3

Answer 2

1问
[an+1-3^（n+1）]/(an-3^n)
=(-2an+5*3^n-3*3^n)/(an-3^n)
=-2
即{an-3^n}为等比数列
a1-3=2
所以an-3^n=2*(-2)^n
即an=2*(-2)^(n-1)+3^n