Question

如何求解线线角和线面角？有公式吗？

Answer 1

一、线线角和线面角求解方法

线线角可以直接采用如下公式求取，因为线线角范围是(0,π/2]，因此其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以直接求绝对值即可。

线面角的求取则需要借助平面的法向量，如下图所示，线面角与该直线和该平面的法向量所成的角互余，所以线面角的正弦值为直线与平面法向量所成角的余弦值，线面角的余弦值与平面法向量所成角的正弦值。又因为线面角的范围同样为(0,π/2]，其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以在求该直线与该平面的法向量所成角的余弦值直接取绝对值即可。

因此求解线线角的核心是用向量表示出两条直线相交直线，求解线面角的核心是用向量表示出直线并求出相交平面的法向量。法向量的求法是利用线面垂直判定定理——一条直线垂直于平面内的相交直线，该条直线就与该平面垂直（平行垂直判定专题）。

线线角和线面角的求解难度不大，但对计算准确率要求较高，重点在于空间直角坐标系的构建（空间直角坐标系构建专题）以及对应直线和平面法向量的空间向量表示。