Question

问一道线性代数题

这个题是不是有很多不同的答案啊 要是我行变换的方法不一样或者顺序不一样那最后相乘的初等矩阵应该不一样 顺序也不一样 我不知道对不对 是不是这样啊 但是我看到n个版本的答案都这样的额 还是我搞错了 非要这样搞？按这个顺序？还是我算错了？其他的方式最后答案也是这样？

Answer 1

一般情况下P不唯一.

你求P的方法不太好, 容易出错, 可以用这个方法求P:
对矩阵(A,E)用初等行变换化为行最简形, 右子块即是所求的P.
原理:
P(A,E) = (PA,P)
当PA为行最简形时, 右子块即为P.

当A非行满秩时, 左子块出现0行, 此时这个0行的k倍加到其他行时, 左子块不变, 而右子块变化为另一个满足要求的P.

追问

为什么矩阵(A,E)用初等行变换化为行最简形, 右子块即是所求的P?
P(A,E) = (PA,P)
不是应该是(A,E)~（E,A-1)吗？左边怎么是PA啊？

追答

当A是方阵且可逆时, 左子块才能脂成单位矩阵E

原理是一样的
P(A,E) = (PA,PE) = (PA, P)
当A可逆时, P=A^-1, 代入看看

Answer 2

行最简形是唯一的。所以P一定也是唯一的。当然 不同的人会用不一样的一系列行变换把A变成行最简形，但所对应的P是一样的。 即各个乘积得出来的结果是一样的。