Question

高数同济六版例题疑问

p205例4

我只理解到P、Q因为分母的原因 在（0，0）点无意义，但是书上分的两种情况：
1.（0，0）不属于D
2.（0，0）属于D
感觉把人弄糊涂了，首先 （0，0）毫无疑问是属于D的 那么个人认为情况2讨论的就只应该是D的一部分 那么应该再加（0，0）的曲线积分？还是采用书上的这种方法，只要在D内（不管是单连通还是复连通）做出的辅助边界求曲线积分就是所求值？实在搞不清楚这两种情况的联系何在？既然是两种情况 又怎么能在中间画等号？
貌似此类在（0，0）无意义的函数的曲线积分的题目很常见 应该如何解 如何理解？
求高人解释！

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Answer 1

你怎么得出(0，0)是属于D的？比如D是圆心在(2,2)，半径是1的圆周围成的，则原点不位于D啊。
另外注意D是区域，不是曲线，是闭曲线所围成的整个区域。所以要分情况讨论。
1、当原点不位于D内，此式P，Q在D上都是连续可微的，因此直接用Green 公式即可。
2、当原点位于D内，比如D是圆心在原点的圆周围成的，此时P，Q在D上不是连续可微的，因此不能直接用Green公式。容易知道有问题的地方就是原点，因此想法就是将原点“挖掉”。
于是做一个很小的以原点为心的圆周l，使得l围成的区域全部位于原区域D内。
此时以l和L两条线围成的区域（即l的外部，L的内部相交而成）D1中，P，Q都是连续可微的（因为有问题的点挖掉了），于是可以在D1中用Green公式，得D1的边界（即l和L）的曲线积分是0。在此注意l的方向是顺时针时才对应D1的正向（看看书上正向的定义），因此得到是
L的逆时针的积分－l的逆时针的积分＝D1的正向的积分＝0，
所以要求的L的逆时针的积分＝l的逆时针的积分，剩下的就看书上的计算过程就可以了。

Answer 2

很简单，注意下格林公式的使用条件即可。