Question

求一道导数数学题

Answer 1

设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充要条件为：
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$存在且有限。
这个条件可以解释为：当自变量x在a点趋近于a时，函数f(x)在x=a处的切线斜率存在且有限。如果这个极限不存在或无穷大，则f(x)在x=a处不可导；如果这个极限存在且有限，则f(x)在x=a处可导。
需要注意的是，这个条件只是可导的一个充要条件，不一定是充分条件。在某些情况下，即使这个条件满足，函数f(x)在x=a处也可能不可导。因此，在具体的问题中，需要根据定义和定理来判断函数是否可导。

Answer 2

$f(z)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分必要条件为存在一个复数 $A$ 使得：
$$\lim_{z\to a} \frac{f(z)-A}{z-a}$$
存在且有限。
该极限的值 $A$ 就是 $f(z)$ 在 $x=a$ 处的导数。当该极限存在且有限时，$f(z)$ 在 $x=a$ 处可导。
需要注意的是，这个条件并不是必须的。在某些情况下，可以通过直接计算 $f(z)$ 在 $x=a$ 处的导数来判断 $f(z)$ 在 $x=a$ 处是否可导。例如，如果 $f(z)$ 在 $x=a$ 处的导数可以表示为 $f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$，那么只需要验证该极限是否存在且有限即可判断 $f(z)$ 是否在 $x=a$ 处可导。但是，在一般情况下，上述充分必要条件是更加实用和通用的。