Question

∫xy等于∫x∫y吗?

Answer 1

不一定。

如果被积函数 $f(x,y)$ 在积分区域 $D$ 上是可积的，则有以下两个重要的积分交换定理：

• Fubini 定理：如果 $f(x,y)$ 在 $D$ 上是可积的，则有

\int_D f(x,y) dxdy = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f(x,y) dxdy = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} f(x,y) dydx∫Df(x,y)dxdy=∫y1y2∫x1x2f(x,y)dxdy=∫x1x2∫y1y2f(x,y)dydx

其中，$D = {(x,y) : x_1 \leq x \leq x_2, y_1 \leq y \leq y_2}$ 是一个有限矩形区域。

这个定理告诉我们，如果被积函数在积分区域上是可积的，则交换积分次序是可以的。

• Tonelli 定理：如果 $f(x,y) \geq 0$ 在 $D$ 上是可积的，则有

\int_D f(x,y) dxdy = \int_{y_1}^{y_2} \left[\int_{x_1}^{x_2} f(x,y) dx\right] dy = \int_{x_1}^{x_2} \left[\int_{y_1}^{y_2} f(x,y) dy\right] dx∫Df(x,y)dxdy=∫y1y2[∫x1x2f(x,y)dx]dy=∫x1x2[∫y1y2f(x,y)dy]dx

这个定理告诉我们，如果被积函数非负且在积分区域上是可积的，则交换积分次序也是可以的。

因此，如果被积函数 $f(x,y)$ 满足上述条件之一，则有 $\int_{xy} f(x,y) dxdy = \int_x \int_y f(x,y) dydx$，即 $\int_{xy}$ 等于 $\int_x \int_y$。

然而，如果被积函数不满足上述条件，那么这个等式就不成立。因此，答案是不一定的。

Answer 2

∫xy和∫x∫y是不相等的。

Answer 3

假设x等于3，y=3，那么√xy＝√9＝3，√x√y＝√3×√3＝3，所以√xy＝√x√y

Answer 4

∫xy和∫x∫y是不相等的。

Answer 5

∫xy和∫x∫y是不相等的。