Question

如图，在三角形ABC中，角BCA=90度，AC=BC，AD是BC边上的中线，CE垂直于AD于E，CE的延长线交AB于F，

（1）求AE/DE的值
（2）求tan角BAD的值

用初三的办法解决，谢谢！

Answer 1

第一个问题：
方法一
∵AC⊥CD、CE⊥AD，∴∠CAE＝∠DCE。［同是∠ADC的余角］
∴△ACE∽△CDE，∴△ACE的面积/△CDE的面积＝（AC/AD）^2。
又AC＝BC、CD＝BC/2，∴AC＝2CD，∴△ACE的面积/△CDE的面积＝4。
∵△ACE的面积＝（1/2）AE×CE、△CDE的面积＝（1/2）DE×CE，∴AE/DE＝4。

方法二
∵△ACE、△CDE是等高三角形，∴△ACE的面积/△CDE的面积＝AE/DE。
∵△ACE的面积＝（1/2）AC×CEsin∠ACE、△CDE的面积＝（1/2）CD×CEsin∠DCE，
∴（ACsin∠ACE）/（CDsin∠DCE）＝AE/DE。
∵AC＝BC、CD＝BC/2，∴AC＝2CD，∴2sin∠ACE/sin∠DCE＝AE/DE。
而∠ACE＋∠DCE＝90°、∠ACE＋∠CAD＝90°，
∴sin∠DCE＝cos∠ACE＝sin∠CAD、sin∠ACE＝cos∠CAD，
∴2cos∠CAD/sin∠CAD＝AE/DE，∴2tan∠CAD＝AE/DE，∴2AC/CD＝AE/DE，∴AE/DE＝4。

第二个问题：
方法一
过B作BG⊥AD交AD的延长线于G。
∵∠CED＝∠BGD＝90°、∠CDE＝∠BDG、CD＝BD，∴△CDE≌△BDG，
∴CE＝BG、DE＝DG。

∵AE/DE＝4，∴AE＝4DE，∴AG＝AE＋DE＋DG＝4DE＋DE＋DE＝6DE。
∵CE^2＝AE×DE＝4DE×DE，∴CE＝2DE，∴BG＝2DE。
∴tan∠BAD＝BG/AG＝2DE/（6DE）＝1/3。

方法二
∵AC＝BC、∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴tan∠BAC＝1，又tan∠CAD＝CD/AC＝1/2，
∴tan∠BAD＝tan（∠BAC－∠CAD）
＝（tan∠BAC－tan∠CAD）/（1＋tan∠BACtan∠CAD）＝（1－1/2）/（1＋1/2）＝1/3。

Answer 2

解：(1)由射影定理得：
AC²=AE·AD
CD²=DE·AD
两式相除得：AE／DE=AC²/CD²=4
(2)作DG⊥AB于G，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
在Rt△DBG中，∠DGB=90°，∠DBG=45°．
设CD=DB=a，则AC=2a，AB=2 √2 a，GB=DG=√ 2 ／ 2 a，
∴AG=AB-BG=2 √2 a- √2 ／ 2 a=3 √2 ／2 a．
∴tan∠BAD=DG ／AG =1 ／3 ．