Question

已知函数f（x）=alnx/(x+1) +b/x，曲线y= f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0, （1）求a，b的

已知函数f（x）=alnx/(x+1) +b/x，曲线y= f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0,
（1）求a，b的值；
（2）已知函数x>0且x≠1时，f（x）> lnx/(x-1) +k/x成立，则k的取值范围是？

Answer 1

(1)

切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,

可见斜率k=-1/2, f(1)=1

f(x)=alnx/(x+1)+b/x,

f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2

已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2   即a-2b=-1     (*)

f(1)=b=1           

代入(*)得   a=1

∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x

(2)

由（1）知f(x)=lnx /(x+1) +1/ x ，所以

f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）

考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0），则

h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2

（i）设k≤0，由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h(x)＞0；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h（x）＞0

从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0，即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．

（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，1 /1-k ）时，（k-1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而

h（1）=0，故当x∈（1，1 /1-k ）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．

（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．

综合得，k的取值范围为（-∞，0]