Question

已知：圆C：x2+y2-2y-4=0,直线L：mx-y+1=m.若直线L与圆C交于A、B两点。|AB|=根号下17，求直线m方程

Answer 1

mx-y 1-m=0 =>y=mx 1-m
代入圆方程 =>
x² （mx-m)²=5 =>
(1 m²)x²-2m²x m²-5=0 (1)
设两交点为(x1,y1)(x2,y2)
|AB|=根号[(x2-x1)^2 (y2-y1)^2]=根号(1 m²)|x2-x1| (x2,x1为方程1的两个根)
|x2-x1|=根号[(x1 x2)^2-4x1x2]=根号{2m²/(1 m²)]^2-4(m²-5)/(1 m²)}=√17/根号(1 m²)
=>(2m²)^2-4(m²-5)(1 m²)=17(1 m²)
=>3-m²=0 m=根号3，负根号3.(即为斜率)
|AB|=根号[4m^4/(1 m²)-4(m²-5)]=根号[(20 16m²)/(1 m^2)]=根号[16 4/(1 m^2)]
=> m=0 |AB|=20 取最大值
m=无穷大时，|AB|=16 取最小值

Answer 2

现对圆的方程进行变形：x^2+(y-1)^2=5,圆半径为根号5，L到圆心的距离为：根号下（5-17/4）=二分之根号3，而点线的距离又可表示为：（|m|)/根号下（m^2+1^2）,解得m=正负根号三