Question

已知α,β∈(0,π),tanα/2=1/2,sin(α+β)=5/13求cosβ

Answer 1

解
tanα=2tan(α/2)/(1-(tan(α/2)^2))=2*1/2/(1-(1/2)^2)=4/3
即 sinα/cosα=4/3
α，β∈(0,π)
所以
sinα=4/5
cosα=3/5
tanα=4/3>1，
所以 α>π/4
所以 α+β>π/4
因为α,β∈(0,π)
所以π/4＜α+β＜2π
又由于
sin(α+β)=5/13＞0
所以π/4＜α+β＜π
又由于5/13＜2/2=sin(3π/4) 或=sin(π/4)
所以3π/4＜α+β＜π （因为前面已经证明π/4＜α+β，所以α+β不可能＜π/4）
所以 cos(α+β)<0
cos(α+β)=-√(1-(5/13)^2)=-12/13
cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=（-12/13）*（3/5）+（5/13）*（4/5）
=(20-36)/65
=-16/65