Question

sin²α-sin²β=sin(α+β)sin(α-β）

推导过程？

Answer 1

证明：（第一步比较明显）sin²α-sin²β=sin2α-（1-cos2β）
（添加项的办法） = sin2α-（1-cos2β）+（sin2αcos2β- sin2αcos2β）
= sin2αcos2β-[1 - sin2α- cos2β+ sin2αcos2β]
（注意到后面括号里的式子）= sin2αcos2β-（1- sin2α）（1- cos2β）
= sin2αcos2β-cos2αsin2β
再次用添加项的办法 = sin2αcos2β-sinαcosαsinβcosβ+ sinαcosαsinβcosβ-cos2αsin2β
两项与两项合并 =（sin2αcos2β-sinαcosαsinβcosβ）+（sinαcosαsinβcosβ-cos2αsin2β）
提公因式 =sinαcosβ（sinαcosβ-cosαsinβ）+cosαsinβ（sinαcosβ- cosαsinβ）
再次提公因式 = （sinαcosβ+ cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）
=sin（α+β）sin（α-β）
得证。
其实这类三角函数的题型要经常想到添加项的办法，至于添加什么看具体情况。